Keyword [Transformation] [Thin-Plate Spline (TPS)]
仿射变换与投影变换
数值方法——薄板样条插值（Thin-Plate Spline）
薄板样条函数(Thin plate splines)的讨论与分析
关于Thin Plate Spline （薄板样条函数）
1. 仿射变换
- 6个参数
2. 投影变换
- 8个参数. 通常采用z=1时的平面。
3. 薄板样条函数
3.1. 插值
已知函数y=f(x)在N+1个点x1, x2, x3, …上的函数值y1, y2, …，但是未知函数f(x). 可通过插值函数p(x)来逼近f(x).
常用的插值函数有
- 多项式函数 对于N次p(x)有N+1个参数，由于N+1个参数满足N+1个约束条件，因此可求出p(x). 但N阶多项式必有N-1个极值点，得到的插值函数摆动较大，类似过拟合现象。
- 样条函数 即分段函数，表示在相邻点x_{k}和x_{k+1}之间用低阶多项式S_{k}(x)进行插值。分段线性插值和三次样条插值都属于样条插值。
3.2. TPS (Thin plate splines)
- 寻找一个通过所有控制点的弯曲最小的光滑曲面
- 弯曲最小由能量函数定义
对于插值问题：自变量x是2维空间中的点，函数值y也是2维空间中的点，给定N个自变量x和对应函数值y，求插值函数
使得
- 即求两个插值函数φ。根据能量函数可得TPS插值函数形式
其中c是标量，向量a(2, 1)，向量w(N, 1)，函数向量
φ有N+3个参数，而目前只有N个约束（即y=φ(x)，N对数据）。因此，添加三个约束
有
已知N对数据，即已知X和Y，也就是第1个矩阵和第3个矩阵，求第二个矩阵（薄板样条插值函数的参数）
令
有
即可求得插值函数的参数。更进一步，可将x方向和y方向的插值函数φ通过一个矩阵运算计算
该逆矩阵称为弯曲能量矩阵
3.3. TPS应用在STN网络上
对于STN而言，已知
- 2维空间中的自变量x（第一个矩阵，根据尺寸超参数生成的标准网络中的点）
- 薄板样条（TPS）插值函数的参数（第二个矩阵，由Localization Network生成）
求
- 2维空间中的函数值y（第三个矩阵，标准网络经TPS变换后，得到的采样网格。即标准网格中的点映射到输入特征图或图像网格中的点）。
